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/Dic/2009

Dimostrazione e Analisi del Teorema di Morton

Da: grandealba @ 20:16 (CET) / 7698 / Commento ( 10 )

Dato il Teorema di Morton (per un’introduzione al Teorema cliccate qui):   “In un multi-way pot, la nostra aspettativa di vincita potrebbe aumentare grazie ad una decisione corretta del nostro avversario”.
  Passiamo alla sua Dimostrazione e Analisi Approfondita:
  Supponiamo una partita di Limit Hold’em dove noi abbiamo Ad Kc su flop Ks 9h 3h, ovvero Top Pair Top Kicker (TPTK). I nostri due avversari hanno uno Ah Th (flush draw, 9 outs) e l’altro Qc 9c (second pair, 4 outs, no Qh) e al turn scende un blank, mettiamo un 6d. A questo punto poniamo che l’entità del piatto (pot-size) sia P, espressa in Big Bet. Quando puntiamo al turn, il giocatore A in flush draw sta ricevendo sicuramente le corrette Pot Odds per farci call. Una volta che il giocatore A fa call, il giocatore B deve decidere a sua volta se fare call o fold. Per comprendere quale opzione dovrebbe scegliere il giocatore B, calcoliamo la sua aspettativa in entrambi i casi.
  Naturalmente ciò dipende dal numero di carte utili rimaste tra le 46 del mazzo che gli darebbero la mano vincente e dalla grandezza del Pot al momento della decisione (vedi nota* per approfondimento):
  E (Giocatore B | FOLD) = 0 E (Giocatore B | CALL) = (4/46) * (P+2) - (42/46) x (1)
  Il giocatore B non vince o perde nulla con il FOLD. Quando fa CALL vince il Pot il 4/46 delle volte e perde una Big Bet il resto delle volte.
  Ponendo queste due aspettative E in uguaglianza e risolvendole per il Pot P determiniamo l’entità del Pot in cui risulta indifferente fare CALL o FOLD:
  E (Giocatore B | FOLD) = E (Giocatore B | CALL) => P_B= 8.5 Big Bet
  Se il Pot è maggiore di questo valore il giocatore B dovrebbe fare call, altrimenti dovrebbe foldare.
  Per capire quale di queste due opzioni del giocatore B noi dovremmo preferire nella nostra posizione, calcoliamo la nostra aspettativa E allo stesso modo:
  E (Noi | B FOLD) = (37/46) * (P+2) E (Noi | B CALL) = (33/46) * (P+3)
  La nostra aspettativa E dipende in ogni caso dall’entità del Pot (in altre parole, dalle Pot Odds che B ci sta dando quando considera il suo call). Ponendole in uguaglianza possiamo calcolare l’entità del Pot P dove per noi sia indifferente se il giocatore B faccia CALL o FOLD:
  E (Noi | B CALL) = E (Noi | B FOLD) => P_noi= 6.25 Big Bet
  Quando il Pot è più piccolo di questo, noi traiamo profitto quando B insegue il suo progetto, ma quando il Pot è più grande, la nostra aspettativa E è più alta quando B folda invece di seguire. 

Quindi c’è un range di grandezze di Pot (nel nostro caso compreso tra 6.25 e 8.5 Big Bet dopo il turn) dove è corretto per B fare Fold, e noi traiamo più profitto quando B fa effettivamente Fold piuttosto che quando lo segue sbagliando con un Call. Mettendo il tutto graficamente:                                                                                          |                                                  B dovrebbe fare FOLD  | B dovrebbe fare CALL                                                                                        |                                                                                        v                                                                           |                                    noi vogliamo CALL da B | noi vogliamo FOLD da B                                                                           |                                                                          v                                         +---+---+---+---+---+---+---+---+---> Pot-Size P in Big Bet                                         1    2    3    4    5    6    7    8    9                                                                           XXXXXX                                                                                 ^                                                             "Regione Paradossale"   Il range di grandezza del Pot compreso tra 6.25 e 8.5 Big Bet marcato con le XXX (Regione Paradossale) è dove noi vogliamo che il nostro avversario foldi correttamente, perché noi perdiamo aspettativa positiva quando il nostro avversario fa call sbagliando.   Questa è un’apparente violazione del Teorema Fondamentale del Poker, che risulta dal  fatto che il piatto si stia giocando multiway e non heads-up. Quando Sklansky nel suo libro Theory of Poker afferma che il Teorema non si adatta ad “alcune” situazioni multiway-pot, avrebbe fatto meglio a dire che “in generale” il Teorema non si adatta alle situazioni multiway-pot.   In sostanza, nel sopracitato esempio, quando il giocatore B fa call nella Regione Paradossale sta pagando un prezzo troppo alto per il suo debole progetto, ma noi non siamo i soli giocatori a beneficiarne, il giocatore A infatti prenderà i soldi di B ogni volta che chiuderà il suo colore. Paragonato al caso in cui noi fossimo in heads-up con B, noi qui rischiamo ancora di perdere l’intero piatto e non stiamo più ottenendo il 100% di indennizzo dal call loose di B.

E’ l’esistenza di questa regione intermedia di Pot-Size, dove noi vogliamo che almeno  uno dei nostri avversari foldi correttamente, che spiega la strategia piuttosto standard di sfoltire il più possibile il campo quando si pensa di avere la mano migliore. Anche avversari che pagano progetti fuori odds ci possono costare soldi quando vedono le nostre puntate, perché parte dei loro call finirà negli stack degli altri avversari che pescano draw contro di noi.

Questi deboli calling-station alla fine ti costeranno comunque denaro mentre fanno l’errore di farti call troppo spesso.

In pratica quando floppiamo la migliore, ma comunque vulnerabile, mano l’entità del Pot raramente è più piccola della Regione Paradossale, dove vorresti che il tuo avversario facesse call. Normalmente la dimensione del piatto è tale che vorresti che foldassero anche quando sarebbe la mossa corretta per loro da fare. Nei tavoli loose la dimensione del piatto sarà così spesso spostata verso la parte alta della scala che pur volendo il loro fold, essi avranno delle odds per il call talmente buone che il loro continuare ad inseguire da pollastri diventa addirittura la giocata corretta da fare.

Tutto ciò porta ad un’altra interessante considerazione.

Nel nostro esempio a 3 giocatori, sia noi che il giocatore B stiamo perdendo denaro quando B decide di inseguirci in modo non corretto con un call (infatti l’aspettativa di vincita sarebbe per entrambi migliore qualora foldasse). Questo implica che il giocatore A sta indirettamente beneficiando da questo call (consideriamo un poker zero-sum, trascurando la rake, ecc). In effetti il giocatore A sta beneficiando ancora di più da questo call di B rispetto al semplice errore di B nel fare questo call (dal momento che anche noi stiamo perdendo aspettativa dal call di B). Poiché stiamo perdendo aspettativa dal call di B, ne segue che il complesso di tutti gli altri avversari (nel nostro caso A e B) deve necessariamente guadagnarne dallo stesso call di B. In altre parole, se A e B si incontrassero fuori al parcheggio dopo la partita e dividessero i loro profitti, si potrebbe asserire che abbiano fatto “collusion” a nostro danno.

Ed in effetti quello che accade in una partita con tanti calling station è proprio una forma di Implicit Collusion: il primo fish fa una giocata che riduce la propria aspettativa e tutti gli altri fish ne beneficiano in misura ben più grande di quanto non valga realmente l’errore del primo fish.

Questa è proprio quella che viene definita una Collusione Implicita (Implicit Collusion), ed è una cosa diversa dall’apparente simile situazione di Schooling. Lo Schooling si ha quando più avversari “correttamente” fanno call contro un giocatore con la mano migliore, mentre l’Implicit Collusion si ha quando un avversario fa call in modo “non corretto” (nel senso di aspettativa sfavorevole) contro un giocatore con la mano migliore. 

Ecco di conseguenza un’altra delle conclusioni del Teorema di Morton: in una partita loose di Hold’em, cresce il valore delle mani suited, proprio perché sono queste le mani che beneficiano in una situazione di Implicit Collusion. La prossima volta che vi scoppiano in un tavolo di calling station e mostrando J2s vi dicono: “Ma erano suited!” vi verranno in mente Andy ed il suo Teorema.

Nel concludere voglio ribadire l’incredibile attualità, genialità e poliedricità che si sprigiona dal Teorema di Morton ed è una grave perdita per il poker che la morte di Andy abbia contribuito a lasciare nel dimenticatoio teorie che davvero pochissimi oggi conoscono. Le ho volute rimettere insieme e pubblicare alla memoria di Andy Morton, chissà oggi quanti meravigliosi libri avrebbe avuto in più il mondo del poker se non fosse scomparso così giovane.

*NOTA: in linea col Teorema Fondamentale dovremmo assumere che ogni giocatore abbia informazioni COMPLETE sulle mani dei rispettivi avversari e quindi i calcoli andrebbero eseguiti considerando 42 carte rimaste nel mazzo [52 - 4 (flop e turn) - 6 (3 coppie di hole cards conosciute)]. Tuttavia la dimostrazione non cambierebbe, si avrebbe solo uno spostamento della Regione Paradossale compresa tra 5.25 e 7.5, quindi ho preferito utilizzare lo stesso esempio che lo stesso Andy Morton pubblicò su RGP.

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